Обучение математике

  • 1)   Ни в одной из исследованных стран не водятся драконы.
  • 2)   Неисследованные страны пленяют воображение.

  • Вывод:   Страна, в которой водятся драконы,
    не может не пленять воображение.
Льюис Кэррол, «Символическая логика»

Как и в случае с танцами под словом математика также могут пониматься достаточно разные “вещи”:

  1. Математика как определенная сумма “математических” знаний и навыков. В школе это арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия… Это определения, правила, теоремы, доказательства, типовые задачи и методы их решений, математические вопросы и ответы на них… В общем, это некое готовое знание, которое надо выучить, запомнить и научиться применять для решения типовых задач, для ответов на определенные вопросы (например, на уроках или экзаменах).

  2. Математика как способность “математически думать”, самостоятельно находить решения разных, в том числе “не типовых” задач, выводить и доказывать теоремы и формулы, строить определения, выражать мысли и идеи на “математическом языке”…

Естественно, этим видам математики обучаются заметно по разному:

1

В школах (практически во всех) сначала развивают умение считать и работать с числами, учат “таблицу умножения”, теоремы, доказательства, разбирают и анализируют типовые примеры и задачи… Существует колоссальное множество методических наработок и приемов для подобного обучения математике.

Скажу честно, я практически не понимаю такого подхода к обучению математике. Возможно, в этом есть какой-то важный, социально значимый смысл. В качестве гипотезы, могу предположить, что это способствует развитию способностей “действовать и работать по правилам”, “запоминать и четко выполнять инструкции, схемы действий”, “воспринимать формулировки”… Но, может быть, этот подход преследует и какие-то неведомые мне цели.

Особенно удивляет то, что многие школьники и даже учителя-математики не понимают, что значит решить задачу, когда нет готовой схемы и алгоритма решения, если нет заранее заученных инструкций. Часто не догадываются, что таковое вообще возможно. В представлении многих, выражение “решить задачу” означает - запомнить и выполнить то, что требует учитель или кто-то вышестоящий. Типичной является ситуация, когда ребенок на предложение подумать отвечает: “Я этого не знаю. Мы это не проходили”. То есть, слово “подумать” для него - синоним “вспомнить”.

Вспоминается реальный случай: Один из крупных районов Кубани. Районная олимпиада по математике, на которую со всего района съехались лучшие учителя математики и сотни детей. В установленный час распечатывается конверт с задачками, которые начинают решать отдельно дети и отдельно сами учителя. А потом эти учителя проверяют работы детей.

После олимпиады выясняется, что многие учителя не только не смогли сами решить задачки уровня районной олимпиады, но даже оказались не в состоянии определить, кто из детей правильно решил одну из задач, В итоге присуждают первое место тому, у кого, как позже выяснилось, задача была решена не верно. В итоге присуждают первое место тому, у кого, как позже выяснилось, задача была решена не верно. В результате на следующий тур вместо одного (согласно правилам) победителя районного тура едут двое: занявший первое место и правильно решивший все задачи.

2

Наверно у любого человека (во всяком случае, - у большинства детей) с помощью специально подобранных задач и методов можно развивать логическое мышление как таковое и необходимые для этого психические системы.

Пример такой задачи приведен в качестве эпиграфа в начале текста. Вовсе не с привычной скучно-численной математики, а именно с этой задачи о странах, которые не могут не пленять воображение, и ей подобных мы и начали обучение математике в нашей “домашней школе”.

Можно постараться понять, что такое математика, теорема, доказательство, математическая задача… Можно научиться выражать свои мысли на общепринятом “научном” языке. Можно найти ответы на вопросы типа: “Что значит понять условие, решить задачу или сформулировать и доказать теорему?” или “Вообще, что это значит - понять что-либо?”, “Какие умственные и реальные действия могут обозначаться подобными фразами?”. Можно сделать так, чтобы “математичность”, “логичность” стала “естественным стилем мышления”. И можно развить способность решать самые разные, даже непредсказуемо новые задачи.

После чего отпадает необходимость “учить” теоремы и доказательства, выучивать определения и “натаскиваться” на решение типовых примеров и задач… Зачем вообще знать огромное множество “математических истин”, если их можно ВЫЧИСЛИТЬ из значительно меньшего объема знаний? Становится гораздо проще и ИНТЕРЕСНЕЕ самому доказывать, выводить, определять, решать все, что потребуется и не важно, для какой конкретной цели или по какому конкретному “предмету”.

Математика вообще является очень интересным примером, поскольку развитие математических способностей не требует, как в балете, медленного и трудоемкого специального развития тела, костно-мышечной системы и т.п. Математические способности являются чисто ментальными и потому могут быть развиты достаточно быстро. При правильном подходе, - всего за несколько месяцев. Во всяком случае, - у обычного 12-14-ти летнего ребенка.

Математика невероятно многогранна и разнообразна. В математических сборниках и журналах можно найти много притягательных для детей задач, - наглядных, занимательных, остроумных и веселых, даже милых. Эти задачи могут стать великолепным средством для формирования по-настоящему математических способностей.

Не является секретом и один из наиболее эффективных и естественных методов овладения математикой: САМОСТОЯТЕЛЬНО решить интересую задачу, потом - следующую и т.д. И попутно, по мере необходимости, знакомиться с какими-то теориями, определениями, овладевать математическим языком. Странно, что об этом методе я не встречал упоминаний в педагогических разработках, но лишь в биографических воспоминаниях известных математиков.

Я специально расспрашивал ребят на олимпиадах, как они “дошли до жизни такой”. Характерный ответ: сидел дома, было скучно, попалась задачка с интересным условием, захотелось ее решить, день-два-несколько не получалось, потом решилась, понравилось и захотелось еще… В итоге - международная математическая олимпиада. А о школе - ни слова. (Задачка была типа как из журнала “Квант” для младших школьников или из сборников “Занимательные задачи”).

Именно так, на случайно попавшейся “занимательной” задаче я и сам в свое время что-то важное “просек” в математике. И тоже не могу вспомнить, чтобы школа добавила к этому что-то существенное. Скорее лишь некоторую “головную боль” от непонимания, чего же от меня хотят “математички”.

Впоследствии я обнаружил, что некоторые математические задачки являются для многих детей чем-то очень “лакомым”. Стоило им только предложить, рассказать такую задачку и дети “заводились” в желании ее решить. И кто раньше, кто позднее, но многие решали и просили еще и еще. Начинали где-то сами выискивать и приносить подобные задачки. Возникает ощущение, что многие дети испытывают настоящий “интеллектуальный голод”, но не знают, не находят, чем его утолить.

Еще замечу, что очень важно, специально подбирать задачи для конкретного человека так, чтобы они были увлекательны для него и доступны, а главное, решались бы не столько за счет применения готовых знаний, сколько за счет “чистой ментальности” (логики, воображения), “в уме”.

И еще важно, чтобы задача была достаточно сложна, на пределе имеющихся способностей. Удобный критерий - она должна решаться не за час несколько, а дня за два-три упорных раздумий. Условие “решаемость в уме” существенно еще и потому, чтобы об этой задаче можно было думать не только в специальных условиях (например, сидя за столом), а постоянно, когда “само думается”, даже засыпая и просыпаясь среди ночи. Решив задачу, полезно с ней еще “поиграть”, поискать и придумать математически эквивалентные задачи: как более разнообразно-конкретные и частные, так и более обобщенно-абстрактные, исследовать эту задачу и “пространство” вокруг нее.


Такое обучение опирается на естественную способность-потребность ребенка, человека самостоятельно думать и решать интересные или важные для него задачи. При этом, абстрактно логическое мышление образует ядро математических способностей, некую универсальную “математическую технику”.

Любопытно, что, как и в обучении творчеству танца, здесь тоже принципиально важно находить “особые”, красивые и увлекательные задачи для формирования и развития определенных интересов и способностей у конкретного, “особенного” ученика. И только вместе с этими задачами и оглядываясь на них развивать некие универсальные данные, “язык и технику”. Все очень похоже…


Наиболее интенсивно развитие способностей идет, если задачи выбираются сложные, “на пределе” возможностей и даже - за его пределами. Иногда возникают, казалось бы, абсолютные тупики. Например, когда полностью перестают решаться задачи выше определенного уровня, и ни какие “обычные” приемы и методы уже не помогают. Возникает вроде бы “генетический”, “природно-непреодолимый барьер”.

Для его преодоления оказывается очень эффективным использовать “обычный” сон и способ - “уснуть с проблемой и с намерением ее решить”. Естественно, для эффективного применения подобного способа, “неразрешимая” задача должна быть заранее проработана: хорошо понято и “прочувствовано” её условие, сделано множество попыток решения, изучена и “закачана” в мозг вся необходимая информация.

И ещё, может быть важно, чтобы рядом был кто-то, кто способен или знает, как её решить и это его “знание” и умение чувствовалось обучаемым. При наличии таких условий, после одной, максимум трех ночей “сна с проблемой” возникает новое понимание не только исходной “тупиковой проблемы”, но и становится ясной значительная область за ее пределами.

Во всяком случае, именно так было, когда я практиковал подобное для развития способностей своих детей. В такие ночи снились какие-то странные сны, или возникали состояния полусна - полудумания - полу-непонятно-чего. Иногда утром чувствовалась заметная усталость и “невыспатость”, но все это вскоре проходило вместе с тем, “непреодолимым тупиком”.

Обучение ^